Советский и российский актёр. Сластин родился 12 июня 1942 года в Улан—Удэ в СССР. До того, как Александр начал сниматься в кино, в 1961 году он работал опытным актёром во многих театральных коллективах Советского Союза. В 1968 году Сластин стал участником Ленинградского мюзик—холла. В 1969 году он дебютировал на экране, сыграв князя Галицкого в опере «Князь Игорь». В начале актёрской карьеры он работал в российских кинопроектах, а с начала 1990—х годов начал сниматься за границей. Его первым зарубежным фильмом стал немецкий телефильм «Умри, юная Катарина» (1991). Он также снялся в итальянском фильме «Знатоки». Самый известный фильм с его участием — «Падение» (2004), где он сыграл советского генерала Василия Чуйкова. В 2005 году получил почётное звание Заслуженного артиста Российской Федерации