Российский актёр театра и кино. Алексей родился 12 июня 1977 года в Ленинграде. В 1997 году окончил факультет искусств Санкт—Петербургского гуманитарного университета профсоюзов (СПбГУП) и был зачислен в труппу Санкт—Петербургского театра юных зрителей имени А. А. Брянцева под руководством Анатолия Аркадьевича Праудина. В 1998 году перешёл в Санкт—Петербургский государственный театр «Балтийский дом», где Анатолий Праудин создавал экспериментальную сцену. В 2000 году Барабаш ушёл из репертуарного театра и начал карьеру в кино. Известен по таким фильмам и сериалам, как «Бедный, бедный Павел» (2003), «Жизнь и смерть Лёньки Пантелеева» (2006), «Свадьба» (2007), «Вербное воскресенье» (2009), «Мы из будущего—2» (2010), «Маленькие трагедии» (2010), «Сталинград» (2013), «Василиса» (2013), «Эти глаза напротив» (2015), «Ледокол» (2016), «Линия огня» (2017)