Кинорежиссёр, сценарист и продюсер. Анна родилась 8 февраля 1976 года в Баку. В середине 1990—х годов она писала сценарии для рекламных роликов и телевизионных программ, работала в команде Евгения Гинзбурга, принимала участие в создании «новогодних огоньков» и шоу—программ. В 1995 году Меликян была режиссёром—постановщиком церемоний открытия и закрытия Московского международного кинофестиваля. В 2002 году она окончила режиссёрский факультет ВГИК, (мастерская С. Соловьёва, В. Рубинчика) и в 1999 году в качестве курсовой работы сняла фильм «Полетели» с Нелли Уваровой в главной роли. В начале 2000—х годов Анна принимала участие в выпуске программы Ольги Шакиной «Путеводитель» (ТВС). Первым полнометражным фильмом Меликян стал «Марс», премьера которого состоялась в 2004 году на Берлинском кинофестивале. Второй полнометражный фильм «Русалка» снятый с участием актрисы Марии Шалаевой, получил приз за лучшую режиссуру на кинофестивале «Сандэнс», приз ФИПРЕССИ на Берлинском кинофестивале и в 2008—м году был номинантом от России на Оскар. За фильм «Звезда» в 2014 году Анна получила приз за лучшую режиссуру на фестивале «Кинотавр», а в 2015 году за фильм «Про любовь» получила на «Кинотавре» два главных приза — Гран—при за лучший фильм и приз жюри кинопрокатчиков. Американский журнал «Variety» даже включил Меликян в десятку самых перспективных режиссёров мира. Кроме этого, Анна создала свою кинокомпанию «Магнум»