Советский и русский актёр театра и кино, театральный педагог. Евгений родился 9 октября 1926 в Нижнем Новгороде, СССР. В 1946 году был зачислен на первый курс Горьковского театрального училища (ныне Нижегородское театральное училище имени Е. А. Евстигнеева). Окончив его в 1951 году, был распределён во Владимирский областной драматический театр имени А. Луначарского. В 1954 году поступил сразу на третий курс в московскую Школу—студию имени В. И. Немировича—Данченко при МХАТ СССР. В 1956 году окончил Школу—студию МХАТ (курс П. В. Массальского) и был принят во МХАТ. С 1957 года — актёр театра «Современник». Первую свою значительную роль в театре сыграл в 1960 году в спектакле «Голый король» по пьесе Е. Л. Шварца. Последней его ролью в этом театре был Дорн в «Чайке» А. П. Чехова в 1970 году. В 1964 году Евстигнеев исполнил роль Дынина в дебютном фильме режиссёра Э. Г. Климова «Добро пожаловать, или Посторонним вход воспрещён». В 1971 году он вслед за О. Н. Ефремовым перешёл в труппу МХАТа. Первой его ролью на новой сцене стал Володя в спектакле «Валентин и Валентина» по пьесе М. М. Рощина. В 1988 году актёр сыграл профессора Преображенского в двухсерийном телефильме «Собачье сердце». На рубеже 1990—х годов он сыграл в Театре Антона Чехова Фирса в «Вишнёвом саде». Евгений скончался 4 марта 1992 года на 66—м году жизни