Датский актёр и сценарист. Мартин родился 4 ноября 1968 года в Люнгбю, Дания. После окончания Орхусской театральной школы (1996) работал фрилансером в нескольких театрах, включая Датский королевский театр. Бух начал карьеру в киноиндустрии с малобюджетных короткометражек и полнометражных фильмов. Первой его известной работой стала комедия «Взгляни налево — увидишь шведа» (2003). В 2002 году актёр снялся в фильме «Фуксвансен» и был номинирован на премию датской киноакадемии за лучшую мужскую роль. В 2003 году его фильм «Этот очаровательный мужчина» получил премию «Оскар» за лучший короткометражный фильм в прямом эфире. Вместе с Расмусом Ботофтом Мартин сделал радиошоу «Кавалерия» для датской вещательной корпорации. Оно имело успех, и его превратили в прямые эфиры, и вскоре попросили сделать телевизионное шоу. Вместе с Расмусом и режиссёром Питером Хартоном Бух написал сценарий и сыграл различные роли в двух сезонах, оба из которых были высоко оценены критиками. Последний получил премию датской киноакадемии за «Лучшее телевизионное шоу короткометражного формата». В 2022 году он исполнил главную роль в фильме «Магическая машина времени» (2022)