Британский актёр. Роберт родился 11 марта 1960 года в Уотфорде, Хартфордшир, Великобритания. Впервые Гленистер появился на телевидении в комедии «Пан или пропал» (1980). Стал известен как актёр телевизионных сериалов «Доктор Кто», «Чисто английские убийства» и других. Популярность ему также принесла роль афериста Эша Моргана в остросюжетном сериале «Виртуозы» (2004—2007). Помимо актёрской карьеры, Роберт озвучивал аудиокниги и радиодрамы. В 2013 году он был удостоен премии лучшего актёра второго плана на церемонии «Critics' Circle Theatre Awards», а в 2019 году ему была присуждена почётная степень доктора Миддлсексским университетом за его вклад в искусство